Chapter 1: Real Numbers (Exercise 1.2)

Admin 06 Aug, 2026 8 बार पढ़ा गया

Question 1:

Classify the following numbers as rational or irrational:

(निम्नलिखित संख्याओं को परिमेय या अपरिमेय में वर्गीकृत कीजिए:)

Solution:

$\sqrt{27}$:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
चूँकि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय (irrational) संख्या है, इसलिए $3\sqrt{3}$ भी एक अपरिमेय (Irrational) संख्या है।
$\sqrt{441}$:
$\sqrt{441} = \sqrt{21 \times 21} = 21$
$21$ को $\frac{21}{1}$ रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय (Rational) संख्या है।
$30.232342345...$:
यह दशमलव प्रसार अशांत और गैर-पुनरावृत्ति (non-terminating and non-recurring) है, इसलिए यह एक अपरिमेय (Irrational) संख्या है।
$7.484848...$ ( $7.\overline{48}$ ):
यह दशमलव प्रसार अशांत लेकिन पुनरावृत्त (non-terminating but recurring) है, इसलिए यह एक परिमेय (Rational) संख्या है।
$11.213243546...$:
यह अशांत और अननावर्ती (non-terminating and non-recurring) है, इसलिए यह एक अपरिमेय (Irrational) संख्या है।
$0.819$:
$0.819 = \frac{819}{1000}$
यह एक शांत (terminating) दशमलव है, इसलिए यह एक परिमेय (Rational) संख्या है।

Question 2:

Find any two irrational numbers between $0.12$ and $0.13$ .

( $0.12$ और $0.13$ के बीच कोई दो अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।)

Solution:

अपरिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिनका दशमलव प्रसार अशांत और गैर-पुनरावृत्त (non-terminating, non-recurring) होता है।

$0.12$ और $0.13$ के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ:

Question 3:

Find two irrational numbers between $\frac{1}{7}$ and $\frac{2}{7}$ .

( $\frac{1}{7}$ और $\frac{2}{7}$ के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।)

Solution:

सबसे पहले इन्हें दशमलव में बदलें:

\frac{1}{7} = 0.142857...

\frac{2}{7} = 0.285714...

अब $0.142857...$ और $0.285714...$ के बीच कोई भी दो अशांत-गैर-पुनरावृत्त (non-terminating non-recurring) संख्याएँ लिखें:

Question 4:

Represent $\sqrt{5}$ on the number line.

(संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित कीजिए।)

Solution:

पायथागोरस प्रमेय के अनुसार:

\text{Hypotenuse}^2 = \text{Base}^2 + \text{Height}^2

(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5

रचना के चरण (Steps of Construction):

संख्या रेखा खींचें और उस पर बिंदु $O$ को $0$ और बिंदु $A$ को $2$ इकाई की दूरी पर अंकित करें ( $OA = 2$ units)।
बिंदु $A$ पर एक लंब (perpendicular) $AB = 1$ इकाई लंबाई का खींचें ( $AB = 1$ unit)।
बिंदु $O$ और $B$ को मिलाएँ। समकोण त्रिभुज $\Delta OAB$ में:
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
बिंदु $O$ को केंद्र मानकर और $OB$ ( $\sqrt{5}$ ) को त्रिज्या (radius) लेकर एक चाप (arc) लगाएँ जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर काटता है।
बिंदु $P$ संख्या रेखा पर $\sqrt{5}$ को निरूपित करता है।